Envolver regalos Cinco naranjas ha burlado a las mejores mentes en matemáticas durante generaciones

Envolver perfectamente objetos esféricos juntos parece trivial, pero es una tarea que ha dejado perplejos a los matemáticos durante siglos.

"En los viejos tiempos, solo recibíamos naranjas como regalo, ¡y estábamos felices por eso!" Esta es una frase que a veces escuchas cuando una persona mayor critica las lujosas cantidades de regalos que reciben los niños de hoy. Lo que rara vez mencionan es el envoltorio de regalo. Digamos que quisieras regalar cinco naranjas: ¿Cómo arreglarías las frutas para que ocuparan el menor espacio y papel de regalo posible?

Resulta que hay muchas matemáticas detrás de esta pregunta aparentemente inocua. Después de todo, se necesitaron más de 400 años para demostrar algo que los comerciantes de frutas sabían desde tiempos inmemoriales: que el apilamiento óptimo de bolas infinitas en un espacio tridimensional se logra disponiéndolas en forma de pirámide. Una solución verificada a ese rompecabezas, conocida como la conjetura de Kepler, no se publicó hasta 2017. Sin embargo, la situación es bastante diferente cuando se considera solo un número finito de objetos.

Sorprendentemente, los matemáticos no abordaron este último tipo de problema hasta finales del siglo XIX. El geómetra noruego Axel Thue fue el primero en estudiar la disposición óptima de un número finito de círculos bidimensionales en 1892. No se produjeron avances importantes en el campo hasta las siguientes décadas, cuando el matemático húngaro László Fejes Tóth abordó el tema.

Para tener una mejor idea del problema, ayuda considerar primero un caso bidimensional simplificado. Por ejemplo, podemos intentar disponer varias monedas del mismo tamaño de la forma que ahorre más espacio posible. Para hacer esto, los delineamos con un trozo de cuerda, que tiramos bien juntos, y calculamos el área que encierra la cuerda. Para n = 2 monedas, la disposición óptima se encuentra rápidamente: las colocamos de manera que se toquen entre sí. La cuerda más corta que encierra ambas monedas con radio r tiene una longitud de (4 + 2π)r.

Esta longitud se calcula mejor sección por sección: agregue la parte recta de la cuerda (4 xr) más las áreas redondas que encierran un círculo en total (2πr). La cuerda encierra un área total de (4 + π)r2. En este caso, obviamente no hay más forma de ahorrar espacio para colocar las monedas.

Por otro lado, si uno tiene tres monedas disponibles, de repente hay dos arreglos diferentes que parecen ahorrar espacio: uno las alinea una al lado de la otra o las coloca a lo largo de las esquinas de un triángulo equilátero. En el primer caso, la cuerda tendría forma de salchicha, por lo que en matemáticas se denomina paquete de "salchicha". El segundo caso es llamado paquete de "pizza" por los expertos. Pero, ¿qué disposición ahorra más espacio: el envasado de salchichas o el envasado de pizzas?

Resulta que el paquete de pizza es mejor. La longitud de esta cuerda es (6 + 2π)r, y el área cubierta es correspondientemente (6 + √ 3 + π)r2, mientras que la cuerda del paquete de salchichas tiene (8 + 2π)r de largo y encierra un área de ( 8 + π)r2. Si observa detenidamente, esta diferencia también se puede ver directamente en las imágenes. Los espacios entre las monedas en la disposición de salchichas son más grandes que en el paquete de pizza.

De hecho, se puede dar una fórmula general para la longitud requerida de la cuerda y el área confinada. Si se disponen n monedas en forma de salchicha, se necesita una cuerda de longitud 4(n – 1 + 2π)r, que encierra un área de 4(n – 1)r2 + πr2. Por otro lado, si las monedas se colocan a lo largo de una cuadrícula triangular cuya forma se parece lo más posible a un hexágono regular, todo lo que se necesita es una cuerda de longitud 2(n + π)r que encierra un área de (2n + √ 3(n – 2) + π)r2.

Por lo tanto, hemos demostrado que el paquete de pizza es más eficiente en espacio que la forma de salchicha para cualquier número de n círculos. Pero, ¿es realmente siempre óptimo? Determinar eso es una tarea mucho más difícil. Después de todo, podría haber una disposición de círculos completamente caótica que ocupa incluso menos área. Eliminar tales casos resulta extremadamente difícil. Aquí es donde entra el matemático húngaro László Fejes Tóth. En 1975 conjeturó que el empaquetamiento óptimo de n círculos es una disposición en una red triangular que forma la forma de un hexágono lo más regular posible.

En 2011, el matemático Dominik Kenn pudo demostrar que esta idea se cumple para casi todos los valores de n. Y, de hecho, también podría probarse el caso límite en el que cubres un plano infinito con un número infinito de monedas. En 1773, el físico y matemático Joseph Louis Lagrange descubrió que la disposición a lo largo de una red triangular es óptima, siempre y cuando solo se consideren empaques ordenados. No fue hasta 1940 que Fejes Tóth finalmente demostró que esta solución también es más eficiente en espacio que cualquier disposición caótica de círculos.

Pero, ¿y las esferas? Probablemente no sorprenda que el caso tridimensional plantee aún más preguntas que el empaquetamiento circular óptimo en el mundo bidimensional. Tenemos al menos una pista para empezar: la conjetura de Kepler establece que un número infinito de esferas idénticas llenan mejor el espacio tridimensional si las apilas como balas de cañón. En el primer nivel, los organiza a lo largo de una cuadrícula triangular como monedas en el caso bidimensional, y en el segundo nivel, coloca una esfera en cada espacio. El tercer nivel vuelve a ser idéntico al primero, y así sucesivamente. (Estas esferas, en otras palabras, se parecen a las pilas piramidales de naranjas en la tienda de comestibles).

Pero si consideramos solo un número finito de esferas, la situación es bastante diferente. Ahora volvemos al ejemplo de las naranjas envueltas en papel de regalo. Si solo tiene una o dos naranjas, queda claro de inmediato cómo organizarlas de manera óptima. Si tienes tres, la tarea es más complicada. Puede colocarlos en fila (paquete de salchichas) o formar un triángulo con ellos como antes (paquete de pizza). La situación es similar a las tres monedas, solo que se trata de esferas. Para saber qué pack ahorra más espacio en este caso, puedes comparar los volúmenes de los arreglos.

Para comenzar, es útil descomponer nuevamente el caparazón de las esferas en formas geométricas individuales y sumar sus volúmenes. En el caso del paquete de salchichas, esto es bastante simple: la forma se puede dividir en un cilindro y una esfera, que tienen un volumen total de 16⁄3π r3 ≈ 16.76r3. El paquete de pizza es un poco más complicado. Obtienes tres medios cilindros, un prisma triangular y una esfera, cuyo volumen combinado es 13⁄3πr3 + 2√ 3r3 ≈ 17.08r3. Entonces, en este caso, el paquete de salchichas es mucho más eficiente en cuanto al espacio. Y resulta que la disposición de salchichas realmente se puede envasar de forma óptima.

Si agrega una esfera más para que n = 4, puede distinguir entre tres arreglos diferentes. De nuevo, puedes alinear bolas o naranjas una tras otra (salchicha) o repartirlas en el avión (pizza). Pero también puede usar las tres dimensiones espaciales y apilarlas, un arreglo que se llama paquete de "racimo". Incluso para cuatro bolas, se puede demostrar que el paquete de salchichas es óptimo porque requiere el menor volumen.

Sin embargo, con más esferas, las cosas se complican más. Los matemáticos han conjeturado que el paquete de salchichas es óptimo para hasta n = 55 bolas. Pero en 1992, los matemáticos Jörg Wills y Pier Mario Gandini determinaron que un paquete de racimo ahorra más espacio para 56 esferas. Sin embargo, no está claro exactamente cómo se ve este grupo. Los matemáticos pudieron encontrar una disposición mejor que el paquete de salchichas para las bolas, pero no pudieron demostrar que fuera óptimo. Puede haber otro arreglo que ocupe aún menos volumen.

La transición abrupta de una cadena unidimensional ordenada a un grupo tridimensional se conoce en los círculos de expertos como una "catástrofe de salchicha". Wills y Gandini demostraron que los arreglos con 59, 60, 61 o 62 esferas, así como todas las colecciones con al menos 65 bolas, también forman un grupo de manera óptima. Para todas las demás cantidades, es decir, cuando n es menor que 56 o es 57, 58, 63 o 64, el paquete de salchichas parece ser óptimo. Eso significa que con hasta 55 bolas, el paquete de salchichas es presumiblemente óptimo, con 56 bolas, un paquete de racimo es mejor, y con 57 o 58 bolas, una salchicha sería nuevamente el arreglo que ahorra más espacio. Con 59, 60 o 61 esferas, volvemos al racimo nuevamente.

Esa respuesta no parece particularmente intuitiva. Y nadie ha podido probarlo sin lugar a dudas.

Los matemáticos no serían matemáticos si se detuvieran en tres dimensiones. Entonces, ¿cómo es el empaquetamiento óptimo de n bolas de cuatro dimensiones en un espacio de cuatro dimensiones? En dimensiones superiores, representadas como d, se distingue entre salchicha (una cadena unidimensional), racimo (una acumulación de bolas en todo el espacio d-dimensional) y empaques de pizza. Este último representa una especie de transición de los otros dos casos: incluye todas las situaciones en las que las esferas se distribuyen en más de una y menos de d dimensiones.

Resulta que también parece haber una catástrofe de salchichas en cuatro dimensiones, aunque ocurre mucho más tarde que en el caso tridimensional. Gandini y su colega Andreana Zucco demostraron en 1992 que en d = 4, el paquete de racimo ahorra más espacio que el paquete de salchichas una vez que tiene al menos n = 375,769 bolas.

¿Y qué hay de la pizza? Wills y los matemáticos Ulrich Betke y Peter Gritzmann demostraron en 1982 que una pizza nunca es el envase óptimo en tres y cuatro dimensiones. Las bolas llenan todo el espacio (grupo) o forman una línea (salchicha). Solo estos dos casos extremos pueden producir un arreglo de empaque óptimo.

En 1975, Fejes Tóth expresó su ahora famosa "conjetura de la salchicha" para dimensiones superiores. Según él, el paquete de salchichas es óptimo para cualquier número finito de esferas en cinco o más dimensiones. Incluso si esta conjetura aún no se ha probado definitivamente, Betke y su colega Martin Henk pudieron demostrar en 1998 que la conjetura de la salchicha se aplica en dimensiones espaciales de 42 o más.

En resumen, si estuvieras regalando naranjas de 42 dimensiones para Navidad, sería mejor colocarlas en una fila. Y si, como en la pregunta original, estuvieras regalando solo cinco de estas frutas tridimensionales, entonces una envoltura estilo salchicha sería perfecta.

Ahora imagina lo complicada que se vuelve la tarea cuando no quieres empacar naranjas sino figuras de dinosaurios o muñecos. El envoltorio de regalos es claramente un reino rico en acertijos matemáticos.

Este artículo apareció originalmente en Spektrum der Wissenschaft y fue reproducido con permiso.

Manon Bischoff es físico teórico y editor de Spektrum, una publicación asociada de Scientific American. Crédito: Nick Higgins

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Daniel Cusick y E&E Noticias